проблема со счастливым концом

Article

July 3, 2022

В математике проблемой счастливого конца является следующее предложение: Эрдос Пал дал это имя браку Секереси Джорджи и Кляйн Эстер, доказавшей теорему. Это один из первых результатов, которые привели к развитию теории Рамсея. Теорема о счастливом конце может быть доказана простым анализом случая. Если 4 или более точек являются вершинами выпуклой оболочки, выберите 4 из этих точек. С другой стороны, если выпуклая оболочка имеет форму треугольника с двумя точками внутри, то мы можем выбрать одну из двух внутренних точек и ребро треугольника. См. объяснение этого доказательства в Peterson (2000). Более подробное исследование проблемы см. в Morris & Soltan (2000). Гипотеза Эрдоса-Секереси — это следующее утверждение, которое точно выражает более общую связь между количеством точек в наборе точек общего положения и наибольшим выпуклым многоугольником. Множество точек общего положения 2 n - 2 + 1 {\displaystyle 2^{n-2}+1} содержит выпуклый многоугольник n {\displaystyle n}. Гипотеза Эрдоса-Секереси остается недоказанной, но известны менее точные границы.

большие полигоны

В 1935 г. Эрдоши и Секереси доказали следующее обобщенное утверждение: Доказательство появилось в той же статье, доказывающей теорему Эрдоса-Секереси для монотонных подпоследовательностей последовательностей. Пусть f (N ) - минимальное M, при котором множество M точек в общем положении на плоскости должно содержать выпуклый многоугольник N {\ displaystyle N}. В связи с этим известно следующее: f(3) 3. Это очевидно. f(4) 5. f(5) 9. Набор из восьми точек без выпуклого пятиугольника показан на рисунке, показывающем, что f(5) > 8. Трудная часть доказательства состоит в том, чтобы доказать, что множество всех девяти точек общего положения содержит вершины выпуклого пятиугольника. f(6) 17. Значение f(N) неизвестно для всех N > 6 . Согласно результатам Erdős & Szekeres (1935), f(N) конечно для всех положительных целых чисел N. Основываясь на известных значениях f(N) для N 3, 4 и 5, Эрдос и Секереш видят оригинал бумаги Из следующего угадали: ж ( N ) 1 + 2 N - 2 {\ displaystyle f (N) 1 + 2 ^ {N-2}} для любого N ≥ 3 {\ displaystyle N \ geq 3} . Позже они построили явный пример, чтобы доказать, что ж ( N ) ≥ 1 + 2 N - 2 {\ displaystyle f (N) \ geq 1 + 2 ^ {N-2}} .

пустой выпуклый многоугольник

Можно поставить вопрос, существуют ли «пустые» выпуклые четырехугольники, пятиугольники и т. д., у которых достаточно большое множество точек общего положения не содержит других точек множества. Оригинальное решение проблемы счастливого конца можно применить, чтобы показать, что 5 точек в общих положениях имеют пустой выпуклый четырехугольник, как показано, а набор из 10 точек во всех общих положениях имеет пустой выпуклый пятиугольник, как показано. Однако существует множество точек в достаточно большом общем положении, не содержащее пустого выпуклого семиугольника.Долгое время вопрос о существовании пустого шестиугольника оставался открытым, но Николас (2007) и Геркен (2008) нашли, что всякое достаточно большое общее положение. Докажем, что множество точек с пустым выпуклым шестиугольником содержит. В частности, Геркен показал, что количество баллов, необходимое для той же функции f, определенной выше, было меньше или равно f (9), а Николас показал, что необходимое количество баллов было меньше или равно f (25). Valtr (2008) упрощает доказательство Геркена, но требует больше точек с f (15) вместо f (9). Требуется не менее 30 точек, и имеется набор из 29 точек в общих позициях, не имеющих пустых выпуклых шестиугольников.

связанные вопросы

Задача поиска набора из n точек, минимизирующего количество выпуклых прямоугольников, аналогична задаче минимизации количества пересечений прямой линии полного графа. Число квадратов пропорционально четвертой степени n, но точная константа неизвестна.Достаточно большим набором точек в многомерном евклидовом пространстве является точка k, образующая вершины выпуклого многогранника для любого k {\ displaystyle k} больше своего размера и имеет {\displaystyle k} подмножеств. Это сразу видно из существования выпуклого многоугольника в достаточно большом наборе плоских точек путем проецирования набора многомерных точек в произвольное двумерное подпространство. Однако количество точек, необходимых для поиска точек в выпуклом положении, может быть меньше в более высоких измерениях, чем на плоскости, и можно найти более ограниченное подмножество. Особенно, d + 3 {\displaystyle d+3} точки во всех общих позициях в измерении имеют подмножество точек d + 2 {\displaystyle d+2}, которые образуют вершины кругового многогранника. В более общем смысле, точка в любом общем положении для d {\ displaystyle d} и k {\ displaystyle k} для всех k > d {\ displaystyle k> d} )} число m ( k , такое, что множество имеет подмножество точек, образующих вершины соседнего полифоба) k {\displaystyle k}

сноска

использованная литература

внешняя ссылка

Доказательство Рэмси проблемы счастливого конца и теоремы Эрдеша-Секереша в PlanetMath Weisstein, Eric Wolfgang. «Проблема счастливого конца». Wolfram MathWorld (английский). Исследования Вольфрама.

Original article in Korean language