Великая теорема Ферма

Article

July 3, 2022

Великая теорема Ферма (англ. Fermat's Last теорема) — одна из самых известных теорем в математике, придуманная Пьером де Ферма в 17 веке. Эта теорема гласит: В 1637 году Ферма написал теорему на полях одной из страниц своей книги. Он утверждает, что нашел доказательства теории, но не может их записать, потому что поля его книги больше не помещаются. Однако в течение следующих 357 лет математики мира не смогли ее доказать, и эта теорема стала одной из величайших загадок математики. Наконец, в 1994 году британскому математику Эндрю Уайлсу удалось доказать истинность этой теоремы.

История

Триггер Ферма

Около 1637 года Ферма написал теорему на полях одной из страниц своей «Арифметики» (книги Диофанта), которая гласит: «Однако неизвестно, действительно ли Ферма нашел доказательства для всех степеней n {\displaystyle n} . Единственное сохранившееся доказательство Ферма - это доказательство для n 4 {\displaystyle n4} .

Доказательство определенного ранга

Для ранга № 4

Случай числа в степени 4 {\displaystyle 4} был доказан самим Ферма. Он использует метод бесконечного спуска, чтобы доказать, что уравнение не имеет примитивных решений (решений с x, y, z). {\ displaystyle x, y, z} каждая пара относительно проста). Это означает, что Великая теорема Ферма верна для п 4 {\ displaystyle n4}

Количество других рангов

После того, как Ферма доказал случай n 4 {\displaystyle n4} , осталось доказать случай, что n {\displaystyle n} является нечетным простым числом. Другими словами, осталось доказать, что уравнение не имеет целочисленного решения ( a , b , c ) {\ displaystyle (a ,b ,c)} если п {\displaystyle n} является нечетным простым числом. Это связано с тем, что если существует решение степени ( а , б , c ) {\ displaystyle (a, b, c)} для степени n {\ displaystyle n}, то существует решение для степени всех положительных множителей n { \displaystyle п} . Например, пусть n d e {\displaystyle nde} , где d {\displaystyle d} и e {\displaystyle e} фактор n {\displaystyle n} . Так, а п + б п c п {\ Displaystyle а ^ {п} + b ^ {п} с ^ {п}} эквивалентно ( а d ) е + ( б d ) е ( c d ) е {\ displaystyle (a ^ {d}) ^ {е}+(б^{д})^{е}(с^{д})^{е}} Джади, есть решение степени е {\ displaystyle e}, которое является множителем n {\ displaystyle n} . Таким образом, чтобы доказать, что уравнение Ферма не имеет решений для п > 2 {\ displaystyle n> 2} , достаточно доказать, что не существует решения ни для одного простого множителя любого n {\ displaystyle n} . Каждое целое число n > 2 {\displaystyle n>2} делится на 4 {\displaystyle 4} или на нечетное простое число (или на то и другое). Так,

Связь с эллиптической кривой

Стратегия, которая в конечном итоге привела к доказательству Великой теоремы Ферма, возникла из гипотезы Таниямы-Шимуры-Вейля (теперь называемой теоремой модулярности (англ. Пьер Серр и Кен Рибе связывают гипотезу с уравнением, предложенным Ферма. Найдя частичное доказательство гипотезы в 1994 году, Эндрю Уайлс, наконец, сумел доказать Великую теорему Ферма.

Konjektur Танияма-Шимура-Вейл

Примерно в 1955 году японские математики Горо Шимура и Ютака Танияма заметили возможную связь между двумя различными областями математики, а именно эллиптическими кривыми и модулярными формами. Они выдвинули гипотезу, названную гипотезой Таниямы-Шимуры-Вейля, которая утверждает, что каждая эллиптическая кривая является модулярной, то есть ее можно соединить ровно одной модулярной формой.

Сложная теорема для кривой Фрея

В 1984 году Герхард Фрей обнаружил связь между уравнением Ферма и гипотезой Таниямы-Шимуры-Вейля (теперь называемой теоремой модульности). Если уравнение Ферма имеет решение ( а , б , c ) {\ displaystyle (a, b, c)} в степени p > 2 {\ displaystyle p> 2}, тогда можно показать, что полустабильная эллиптическая кривая (которая является теперь называемая кривой Фрея) обладает необычными свойствами, поэтому Фрей предполагает, что эллиптическая кривая немодулярна. Это противоречит теореме модульности, которая утверждает, что все эллиптические кривые модулярны. Следовательно, если теорема модульности будет успешно доказана, то Великая теорема Ферма также может быть доказана. Следуя этой стратегии, доказательство Великой теоремы Ферма требует двух шагов. Во-первых, докажите теорему модульности хотя бы для полустабильных эллиптических кривых. Во-вторых, покажите, что гипотеза Фрея верна: если эллиптическая кривая построена таким образом с числами, являющимися решениями уравнения Ферма, то полученная эллиптическая кривая не является модулярной. Это называется эпсилон-гипотезой (английский: эпсилон-гипотеза). В 1986 году эта гипотеза была доказана Кеном Рибетом и теперь известна как теорема Рибета (английский язык: теорема Рибета). Это называется эпсилон-гипотезой (английский: эпсилон-гипотеза). В 1986 году эта гипотеза была доказана Кеном Рибетом и теперь известна как теорема Рибета (английский язык: теорема Рибета). Это называется эпсилон-гипотезой (английский: эпсилон-гипотеза). В 1986 году эта гипотеза была доказана Кеном Рибетом и теперь известна как теорема Рибета (английский язык: теорема Рибета).

Общее доказательство Уайлса

Услышав об успехе Рибета в доказательстве теоремы Рибета, британский математик Эндрю Уайлс решил сделать следующий шаг: доказать теорему модульности для полустабильных эллиптических кривых. В 1993 году Уайлс думал, что завершил доказательство Великой теоремы Ферма. Однако позже в показаниях Уайлса была обнаружена ошибка. Примерно через год, в 1994 году, Уайлсу удалось исправить показания. В конце концов Великая теорема Ферма была доказана через 357 лет после ее появления.

Отношения с другими проблемами и обобщениями

Великая теорема Ферма рассматривает решения уравнений Ферма: an + bn cn с положительными целыми числами a, b и c и целыми числами n, большими 2. Существует несколько обобщений уравнений Ферма на более общие уравнения, которые позволяют показателю степени n быть числом. y отрицательные или рациональные целые числа, или рассматривать три разных показателя степени.

Общее уравнение Ферма

Уравнение Ферма обобщает утверждение последней теоремы Ферма, рассматривая положительные целые решения a, b, c, m, n, k как удовлетворительные числа. Гипотеза Била, также известная как гипотеза Молдина и гипотеза Тайдемана-Загира, утверждает, что не существует решения общего уравнения Ферма в целых положительных числах a, b, c, m, n, k, поскольку a, b и c равны пары взаимно просты, и все m, n, k больше 2. Гипотеза Ферма – Каталана обобщает последнюю теорему Ферма на идеи гипотезы Каталана. Гипотеза утверждает, что обобщенное уравнение Ферма имеет только бесконечные решения (a, b, c, m, n,

Обратное уравнение Ферма

Когда мы позволяем показателю n быть обратным целому числу, то есть n 1/m для некоторого целого числа m , мы получаем обратное уравнение Ферма a 1 / m + b 1 / m c 1 / m . {\ displaystyle a ^ {1 / m} + b ^ {1 / m} c ^ {1 / m}.} Все решения этого уравнения были рассчитаны Хендриком Ленстра в 1992 г. В случае, когда корень m th должен быть настоящим и позитивным,

рациональный показатель

Для диофантова уравнения, где n не равно 1, Беннетт, Гласс, а п / м + б п / м c п / м {\ displaystyle a ^ {n / m} + b ^ {n / m} c ^ {n / m}} , а Секели доказал в 2004 году для n > 2, что если n и m взаимно просты, то целочисленное решение существует тогда и только тогда, когда 6 делит m ,а 1 / м {\ displaystyle a ^ {1 / m}} , б 1 / м , {\ displaystyle b ^ {1 / m},} и c 1 / м {\ displaystyle c ^ {1 / m}} является шестым различным комплексным корнем того же действительного числа.} и c 1 / m {\displaystyle c^{1/m}} являются шестым различным комплексным корнем одного и того же действительного числа.} и c 1 / m {\displaystyle c^{1/m}} являются шестым различным комплексным корнем одного и того же действительного числа.

Отрицательный целочисленный показатель

п-1

Все примитивные целочисленные решения (то есть решения без одних и тех же простых множителей для всех a, b и c) оптического уравнения а 1 + б 1 c 1 {\ displaystyle a ^ {- 1} + b ^ {- 1} c ^ {- 1}} можно записать как а м k + м 2 , {\ displaystyle amk + m ^ {2},} б м k + k 2 , {\ displaystyle bmk + k ^ {2},} c м k {\ displaystyle cmk} для положительных целых чисел взаимно простого числа m, k.

п -2

} б 2 ты v ( v 2 + ты 2 ) , {\ Displaystyle b2uv (v ^ {2} + и ^ {2}),} d 2 ты v ( v 2 ты 2 ) , {\ displaystyle d2uv (v ^ { 2 }-u^{2}),} для взаимно простого целого числа u , v где v > u. Геометрическая интерпретация состоит в том, что a и b — целые катеты прямоугольного треугольника, а d — высота целого числа до гипотенузы.

п < −2

Не существует решения в целых числах для целых чисел n < −2. Если там, уравнение можно умножить на | н | б | н | с | н | {\ displaystyle a ^ {| n |} b ^ {| n |} c ^ {| n |}} для получения (b c) | н | + (а в) | н | ( а б ) | н | {\ displaystyle (bc) ^ {| n |} + (ac) ^ {| n |} (ab) ^ {| n |}} , что невозможно по Великой теореме Ферма.

угадай азбуку

Гипотеза abc грубо утверждает, что если три положительных целых числа a, b и c (отсюда и название) взаимно просты и удовлетворяют a + bc, то радикал d abc обычно не меньше c. В частности, гипотеза abc в ее наиболее стандартной формулировке влечет за собой последнюю теорему Ферма для достаточно больших n. модифицированная гипотеза Шпиро эквивалентна гипотезе abc и, следовательно, имеет те же последствия. Эффективная версия гипотезы abc или модифицированная эффективная версия гипотезы Шпиро напрямую влечет Великую теорему Ферма.

Ложные подарки и доказательства

В 1816 г., а затем в 1850 г. Французская академия наук предложила премию за общее доказательство Великой теоремы Ферма. В 1857 году Академия присудила Куммеру 3000 франков и золотую медаль за его исследование идеальных чисел, хотя он еще не подал заявку на получение премии. Еще одна премия была предложена Брюссельской академией в 1883 г. В 1908 г. немецкий промышленник и математик-любитель Пауль Вольфскель завещал 100 000 золотых марок, крупную по тем временам сумму, и был передан Геттингенской академии наук в качестве приза за полное доказательство Великая теорема Ферма. 27 июня 1908 года Академия опубликовала девять правил награждения. Среди прочего, это правило требует публикации доказательств в рецензируемом журнале; призы не будут присуждаться до двух лет после публикации; и что призы не будут присуждаться после 13 сентября 2007 г., примерно через столетие после начала конкурса. 27 июня 1997 года Уайлс получил премию Вольфскеля в размере 50 000 долларов. ', комитету Вольфскеля были представлены тысячи неверных доказательств, что составляет примерно 10 футов (3 метра) корреспонденции. Только за первый год (1907–1908) было представлено 621 испытание доказательств, хотя к 1970-м годам количество представлений доказательств снизилось примерно до 3–4 испытаний в месяц. По словам Ф. Шлихтинга, обозревателя Вольфскеля, большая часть доказательств основана на основных методах, преподаваемых в школах, и часто представляется «людьми с техническим образованием, но неудачной карьерой». По словам историка математики Говарда Ивза, «Последняя теорема Ферма отличается тем, что является математической проблемой с наибольшим количеством ложных доказательств».

В популярной культуре

В эпизоде ​​Симпсонов «Волшебник вечнозеленой террасы» Гомер Симпсон пишет уравнение 3987 12 + 4365 12 4472 12 {\displaystyle 3987^{12}+4365^{12}4472^{12}} на доске, которое появляется быть Этот пример противоречит Великой теореме Ферма. Неверное уравнение, но выглядит правильным, если ввести его в калькулятор с 10 значащими цифрами.

Смотрите также

abc Гипотеза Beal Diofantin II.VIII Оценка суммы степеней Эйлера Гипотеза Ферма–Каталана Теорема модульности Доказательство невозможности пифагорейской тройки Софи Жермен Сумма степеней, список гипотез и связанных с ними теорем о простых числах Стены–Солнца–Солнца

Ссылка

Библиография

дальнейшее чтение

внешние ссылки

Последняя теорема Ферма Британской энциклопедии Дэни, Чарльз (2003). «Математика Великой теоремы Ферма». Diarsipkan dari versi asli tanggal 3 августа 2004 г. Diakses tanggal 5 августа 2004 г. Элкис, Ноам Д. «Таблицы «промахов» Ферма - приближенные решения xn + yn zn». Фриман, Ларри (2005). «Блог Великой теоремы Ферма». Блог, посвященный истории Великой теоремы Ферма от Ферма до Уайлса. Хазевинкель, Михиль, изд. (2001) [1994], «Последняя теорема Ферма», Математическая энциклопедия, Springer Science + Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 Рибет, Кен (1995). «Представления Галуа и модулярные формы». архив: математика/9503219. Membahas berbagai materi yang berhubungan dengan pembuktian Teorema Terakir Fermat: kurva elips, bentuk модульный, представляющий Galois dan deformasi mereka, konstruksi Frey, dan dugaan Serre dan Taniyama – Shimura. Шей, Дэвид (2003). «Последняя теорема Ферма». Diakses tanggal 14 января 2017. Сюжет, история и тайна. (Инггрис) Вайсштейн, Эрик В. «Последняя теорема Ферма». Математический мир. О'Коннор Дж. Дж., Робертсон Э. Ф. (1996). «Последняя теорема Ферма». Diarsipkan dari versi asli tanggal 4 августа 2004 г. Diakses tanggal 5 августа 2004 г. «Доказательство». В названии одного из выпусков телесериала PBS NOVA обсуждается попытка Эндрю Уайлса доказать Великую теорему Ферма. «Документальный фильм о Великой теореме Ферма (1996)». Фильм Саймона Сингха и Джона Линча рассказывает историю Эндрю Уайлса. представляет Галуа и деформирует мерека, конструирует Фрей, дан дугаан Серре дан Танияма – Шимура. Шей, Дэвид (2003). «Последняя теорема Ферма». Diakses tanggal 14 января 2017. Сюжет, история и тайна. (Инггрис) Вайсштейн, Эрик В. «Последняя теорема Ферма». Математический мир. О'Коннор Дж. Дж., Робертсон Э. Ф. (1996). «Последняя теорема Ферма». Diarsipkan dari versi asli tanggal 4 августа 2004 г. Diakses tanggal 5 августа 2004 г. «Доказательство». В названии одного из выпусков телесериала PBS NOVA обсуждается попытка Эндрю Уайлса доказать Великую теорему Ферма. «Документальный фильм о Великой теореме Ферма (1996)». Фильм Саймона Сингха и Джона Линча рассказывает историю Эндрю Уайлса. представляет Галуа и деформирует мерека, конструирует Фрей, дан дугаан Серре дан Танияма – Шимура. Шей, Дэвид (2003). «Последняя теорема Ферма». Diakses tanggal 14 января 2017. Сюжет, история и тайна. (Инггрис) Вайсштейн, Эрик В. «Последняя теорема Ферма». Математический мир. О'Коннор Дж. Дж., Робертсон Э. Ф. (1996). «Последняя теорема Ферма». Diarsipkan dari versi asli tanggal 4 августа 2004 г. Diakses tanggal 5 августа 2004 г. «Доказательство». В названии одного из выпусков телесериала PBS NOVA обсуждается попытка Эндрю Уайлса доказать Великую теорему Ферма. «Документальный фильм о Великой теореме Ферма (1996)». Фильм Саймона Сингха и Джона Линча рассказывает историю Эндрю Уайлса. «Последняя теорема Ферма». Diakses tanggal 14 января 2017. Сюжет, история и тайна. (Инггрис) Вайсштейн, Эрик В. «Последняя теорема Ферма». Математический мир. О'Коннор Дж. Дж., Робертсон Э. Ф. (1996). «Последняя теорема Ферма». Diarsipkan dari versi asli tanggal 4 августа 2004 г. Diakses tanggal 5 августа 2004 г. «Доказательство». В названии одного из выпусков телесериала PBS NOVA обсуждается попытка Эндрю Уайлса доказать Великую теорему Ферма. «Документальный фильм о Великой теореме Ферма (1996)». Фильм Саймона Сингха и Джона Линча рассказывает историю Эндрю Уайлса. «Последняя теорема Ферма». Diakses tanggal 14 января 2017. Сюжет, история и тайна. (Инггрис) Вайсштейн, Эрик В. «Последняя теорема Ферма». Математический мир. О'Коннор Дж. Дж., Робертсон Э. Ф. (1996). «Последняя теорема Ферма». Diarsipkan dari versi asli tanggal 4 августа 2004 г. Diakses tanggal 5 августа 2004 г. «Доказательство». В названии одного из выпусков телесериала PBS NOVA обсуждается попытка Эндрю Уайлса доказать Великую теорему Ферма. «Документальный фильм о Великой теореме Ферма (1996)». Фильм Саймона Сингха и Джона Линча рассказывает историю Эндрю Уайлса. Робертсон Э.Ф. (1996). «Последняя теорема Ферма». Diarsipkan dari versi asli tanggal 4 августа 2004 г. Diakses tanggal 5 августа 2004 г. «Доказательство». В названии одного из выпусков телесериала PBS NOVA обсуждается попытка Эндрю Уайлса доказать Великую теорему Ферма. «Документальный фильм о Великой теореме Ферма (1996)». Фильм Саймона Сингха и Джона Линча рассказывает историю Эндрю Уайлса. Робертсон Э.Ф. (1996). «Последняя теорема Ферма». Diarsipkan dari versi asli tanggal 4 августа 2004 г. Diakses tanggal 5 августа 2004 г. «Доказательство». В названии одного из выпусков телесериала PBS NOVA обсуждается попытка Эндрю Уайлса доказать Великую теорему Ферма. «Документальный фильм о Великой теореме Ферма (1996)». Фильм Саймона Сингха и Джона Линча рассказывает историю Эндрю Уайлса.

Original article in Indonesian language